一、课程简介

随着科学技术的迅猛发展，数学不仅仅在理工学科领域中占有重要地位，而且已渗透到经济、管理、金融、人文科学等各个领域，正日益成为各学科进行科学研究的重要手段和工具。高等数学是学习、研究现代科学技术必需的基础知识，是一门重要的基础理论课，在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用，同时高等数学也是全国硕士研究生入学考试统考中必考的数学课程之一。

通过本课程的教学，不但使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续其他数学课程和专业课程奠定必要的数学基础，而且还通过各个教学环节逐步使学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，以及较强的运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

本课程适用于生物医学工程、生物医学工程（医疗器械方向）、医学影像技术专业，必修课，第一学年开课，总学时132（理论学时108，实验学时24），学分6.5分。

二、课程目标

（一）基本理论知识

通过本课程的学习，使学生掌握极限、一元函数微分、一元函数积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微分、多元函数积分、无穷级数（包括傅里叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为今后学习各类后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二）基本技能

通过本课程的学习，使学生在掌握一定的高等数学的基本知识的基础上，具有比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

（三）基本素质

通过本课程的学习，逐步培养学生的最基本的数学素质 (抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，运算能力)和自学能力；提高他们的科学素养：严谨而具有逻辑性，并能从纷杂的数据中，通过数学方法的处理抽象出科学的结论。

三、学时分配

四、理论教学目标和内容

第一章 函数与极限

目标

1. 掌握 （1）极限的四则运算法则；（2）运用两个重要极限求极限的方法；（3）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。

2. 熟悉 （1）函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；（2）复合函数和极限的概念；（3）基本初等函数的性质及其图形；（4）换元法则求极限。

3. 了解 （1）函数的概念、反函数的概念、隐函数的概念、极限的有关性质；（2）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念；（3）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念以及间断点的概念及间断点的类型。

内容

1.重点阐述 （1）函数的极限；（2）极限运算法则；（3）极限存在准则、两个重要极限。

2.详细了解 （1）函数的连续性与间断点；（2）连续函数的运算与初等函数的连续性；（3）闭区间上连续函数的性质。

3.一般介绍 （1）映射与函数；（2）数列的极限；（3）无穷大与无穷小；（4）无穷小的比较。

第二章 导数与微分

目标

1.掌握 （1）基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的求法；（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法。

2.熟悉 （1）导数和微分的概念及导数的几何意义；（2）函数的可导性与连续性的关系及导数与微分的关系；（3）隐函数、参数式所确定的函数及反函数的导数。

3.了解 （1）高阶导数的概念及微分的几何意义；（2）微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；（3）微分在近似计算中的应用。

内容

1.重点阐述 （1）导数概念；（2）函数的求导法则。

2.详细了解 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数。

3.一般介绍 （1）高阶导数；（2）函数的微分。

第三章 微分中值定理与导数的应用

目标

1.掌握 （1）洛必达法则求未定式极限的方法；（2）函数的单调性的判断、函数极值的计算；（3）函数最大值和最小值的求法及其应用；（4）函数图形的凹凸性判断。

2.熟悉 （1）拉格朗日中值定理；（2）函数的极值概念。

3.了解 （1）罗尔定理、柯西中值定理；（2）泰勒中值定理；（3）图形的描绘；（4）弧微分。

内容

1.重点阐述 洛必达法则。

2.详细了解 （1）拉格朗日中值定理；（2）函数的单调性与曲线的凹凸性；（3）函数的极值与最值。

3.一般介绍 （1）罗尔定理和柯西中值定理；（2）泰勒公式；（3）函数图形的绘制；（4）弧微分。

第四章 不定积分

目标

1.掌握 （1）不定积分的性质；（2）不定积分的基本公式；（3）换元积分法和分部积分法。

2.熟悉 （1）原函数与不定积分的概念；（2）有理函数积分的求法。

3.了解 积分表的使用。

内容

1.重点阐述 （1）不定积分的概念和性质；（2）换元积分法；（3）分部积分法。

2.详细了解 有理函数的积分。

3.一般介绍 积分表的使用。

第五章 定积分

目标

1. 掌握 （1）定积分的性质；（2）牛顿——莱布尼兹公式；（3）定积分的换元法和分部积分法。

2. 熟悉 （1）定积分的概念；（2）积分上限函数及其求导定理。

3. 了解 （1）定积分的几何意义；（2）反常积分的概念，会计算反常积分。

内容

1.重点阐述 （1）定积分的概念和性质；（2）微积分基本公式；（3）定积分的换元法和分部积分法。

2.一般介绍 反常积分。

第六章 定积分的应用

目标

1.掌握 （1）定积分的元素法；（2）平面图形面积、旋转体体积的求法。

2.熟悉 （1）平行截面面积为已知的立体的体积；（2）平面曲线的弧长。

3.了解 定积分在物理上的应用。

内容

1.重点阐述 定积分的元素法。

2.详细了解 定积分在几何学上的应用。

3.一般介绍 定积分在物理学上的应用。

第八章 向量代数与空间解析几何

目标

1.掌握 （1）向量的运算(线性运算、数量积、向量积)；（2）两个向量垂直、平行的条件；（3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

2.熟悉 （1）空间直角坐标系；（2）向量的概念及其表示；（3）曲面方程的概念。

3.了解 （1）常用二次曲面的方程及其图形；（2）以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；（3）空间曲线的参数方程和一般方程；（4）曲面的交线在坐标平面上的投影。

内容

1.重点阐述 数量积、向量积。

2.详细了解 （1）曲面及其方程；（2）平面及其方程；（3）空间直线及其方程。

3.一般介绍 （1）向量及其线性运算；（2）空间曲线及其方程。

第九章 多元函数微分法及其应用

目标

1.掌握 （1）多元初等函数的一阶、二阶偏导数和全微分的计算方法；（2）多元复合函数和隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数的计算方法。

2.熟悉 （1）二元函数、多元函数的概念；（2）二元函数的定义域；（3）偏导数、全微分的概念；（4）方向导数与梯度的概念及其计算方法；（5）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求其方程；（6）多元函数的极值及其求法。

3.了解 （1）二元函数的几何意义；（2）二元函数的极限与连续的概念；（3）二元函数连续、可导、可微分之间的关系。

内容

1.重点阐述 （1）偏导数和全微分；（2）多元复合函数的求导法则；（3）隐函数的求导公式。

2.详细了解 （1）多元函数的概念；（2）多元函数微分学的几何应用；（3）方向导数与梯度；（4）多元函数的极值及其求法。

3.一般介绍 （1）平面点集、n维空间的概念；（2）多元函数的极限；（3）多元函数的连续性。

第十章 重积分

目标

1.掌握 二重积分在直角坐标和极坐标下的计算方法。

2.熟悉 二重积分的概念和性质。

内容

1.重点阐述 二重积分的计算方法。

2.详细了解 二重积分的概念和性质。

第十一章 曲线积分与曲面积分

目标

1.掌握 （1）对弧长的曲线积分的计算法；（2）对坐标的曲线积分的计算法；（3）格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

2.熟悉 （1）对弧长的曲线积分的概念与性质；（2）对坐标的曲线积分的概念与性质。

3.了解 两类曲线积分相互间的关系。

内容

1.重点阐述 （1）对弧长的曲线积分；（2）对坐标的曲线积分。

2.详细了解 格林公式及其应用。

第十二章 无穷级数

目标

1.掌握 （1）无穷级数基本性质及收敛的必要条件；（2）几何级数和p-级数的收敛性；（3）正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；（4）交错级数的莱布尼茨判别法；（5）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

2.熟悉 （1）无穷级数收敛、发散以及和函数的概念；（2）会利用和的马克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数；（3）幂级数收敛半径的概念。

3.了解 （1）正项级数的极限审敛法；（2）会估计交错级数的截断误差；（3）无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；（4）绝对收敛级数的一些基本性质；（5）函数项级数的收敛域及和函数的概念；（6）幂级数在其收敛区间内的基本性质；（7）函数展开为泰勒级数的充分必要条件；（8）幂级数在近似计算上的简单应用；（9）函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数。

内容

1.重点阐述 （1）常数项级数的概念和性质；（2）常数项级数的审敛法；（3）幂级数；（4）傅里叶级数。

2.详细了解  函数展开成幂级数。

3.一般介绍 函数的幂级数展开式的应用。

五、实验教学目标与内容

实验一 MATLAB基础知识

目标

1.了解 MATLAB软件的历史。

2.掌握 MATLAB定义数组(向量)的方法。

3.掌握 循环和判断语句。

4.掌握 绘图的简单命令。

内容

1.熟悉MATLAB的启动方法。

2.熟悉MATLAB的操作环境。

3.熟练掌握for循环语句;while循环语句;if-else-end逻辑判断语句。

4.熟练掌握plot,ezplot等命令。

实验二 函数的极限和导数

目标

1.掌握 求函数极限、左极限、右极限的命令。

2.掌握 当自变量趋近于无穷大时求函数极限的命令。

3.掌握 求函数一阶以及高阶导数的命令。

4.掌握 求参数方程所确定的函数的导数的命令。

内容

1.了解利用极限求函数在一点处的导数的方法。

2.熟练掌握limit(f,x,a), limit(f,x,a,`left`) ,limit(f,x,a,`right`)命令。

3.熟练掌握limit(f,x,inf)命令。

4.熟练掌握diff(f(x)), diff(f(x),n)命令。

5.掌握参数方程求导的过程。

实验三 导数的其应用

目标

1.了解 求方程近似解的过程。

2.掌握 求函数极值和最值的命令。

3.掌握 求方程(组)的根的命令。

4.掌握 利用MATLAB验证洛必达法则，泰勒展开式和函数的单调性。

内容

1.熟练掌握fminbnd(`f(x)`,a,b), fminsearch(`f(x)`,a) 命令。

2.熟练掌握solve(f,x)命令。

3.利用limit命令验证洛必达法则。

4.利用taylor(f,x,'ExpansionPoint',a,'Order',n)验证泰勒展开式。

5.利用画图命令验证函数的单调性。

实验四 不定积分和定积分

目标

1.掌握 求函数不定积分的命令。

2.掌握 求函数定积分的命令。

内容

1.熟练利用int(f(x)), int(f(x,y),x)命令来求函数的不定积分。

2.熟练利用int(f(x),a,b), int(f(x,y),x,a,b)命令来求函数的定积分。

3.熟练利用int(f(x),x,a,inf)命令来求广义积分。

实验五 向量代数与空间解析几何

目标

1.了解 空间解析几何。

2.掌握 绘图命令plot3。

3.掌握 绘图命令mesh,meshc,meshz等。

4.掌握  用Matlab中各种绘图命令解决实际问题。

内容

1.用Matlab绘制空间的曲线。

2.用Matlab绘制空间的曲面绘图命令mesh,meshc,meshz等。

3.解决设计性实验问题。

实验六 多元函数微分

目标

1.了解 多元函数的基本概念。

2.掌握 求导命令diff计算多元函数的偏导数。

3.掌握 用Matlab命令计算多元函数隐函数的导数、偏导数。

4.掌握 用int命令计算多元函数的方向导数。

5.掌握 用gradient命令计算多元函数的梯度。

6.掌握 求多元函数的极值。

内容

1.练习用diff命令计算偏导数。

2.练习用diff命令计算高阶偏导数。

3.计算多元函数的方向导数。

4.计算多元函数的极值。

5.求多元函数的梯度。

实验七 重积分与曲线积分

目标

1.掌握 ezplot命令画图。

2.掌握 hold on、hold off命令设置图形状态。

3.掌握 axis命令设置坐标轴。

4.掌握 int命令计算重积分、曲线积分。

内容

1.绘制重积分的积分区域。

2.用数值计算方法求解积分近似值。

3.计算曲线积分。

4.练习用参数方程表示的曲线积分。

实验八 无穷级数

目标

1.掌握 symsum(s,v,a,b)命令。

2.掌握 taylor(f,a,n)命令。

3.掌握 用绘图观测法判断函数敛散性。

4.掌握 文档的预览与打印。

5.熟悉 Word的高级功能——邮件合并。

内容

1.用幂级数计算指数函数。

2.绘制泰勒展开式前n项所代表函数的图形。

3.验证级数审敛法。

4.计算无穷级数的和。

六、措施与评价

（一）措施

本课程在教务处统一组织下实施教学。

1.采用小班进行教学，课前教师要认真备课，明确教学目的、进度、深广度及重点和难点，写好教案或制好多媒体课件。讲课必须注重启发式、讨论式，突出重点，充分利用形象教具和各种电化教学手段，紧密结合临床实际，积极调动学生学习的积极性，注重对能力的培养，不断提高教学质量。积极开展数学实验，增强学生用数学软件解决数学问题的能力。

2.实验课 每人一台计算机。要求学生做好课前预习，实验课贯彻“精讲多练”的原则，在教师的指导下，学生依据实验指导或实验作业独立操作，注重上机技能技巧的训练。注意培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。教师要以身作则，大胆管理，严格要求，培养学生对科学的严谨态度。

3.自学和辅导相结合。学生应认真进行课前预习和课后复习，完成指定的作业，阅读指定的参考书。教师应认真批改作业及时发放，及时了解学生的学习情况，着重培养学生的自学能力。辅导答疑时，教师要耐心细致，注意质疑症结、启发诱导，锻炼学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。

（二）评价

1.在课程结束后进行全面系统复习和考核。理论考试成绩占 50%，平时成绩+实验成绩占50%。

2.评价方法采用提问、检查作业、测试、考试等方式进行。

编写 赵燕

审校  石巧连