一、课程简介

复变函数与积分变换是生物医学工程专业本科生的基础课程，是继工科高等数学之后的又一门数学基础课。主要研究解析函数以及积分变换的基本理论和有关方法。它的理论和方法不仅在数学的许多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用。

通过本课程的学习，使学生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识，掌握该课程的基本概念、基本理论，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，为后继课程的学习奠定良好的数学基础。

复变函数与积分变换适用于生物医学工程、生物医学工程（医疗器械方向）、医学影像技术专业，必修课，第三学期开课，总学时36学时，学分2分。

二、课程目标

（一）基本理论知识

通过本课程的学习，使学生理解区域、解析、调和函数、复积分、级数、奇点、留数、积分变换等概念；掌握柯西-黎曼方程、柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等定理及公式。

（二）基本技能

通过本课程的学习，使学生具有熟练运用泰勒展开、罗朗展开、奇点分类、留数计算、积分变换性质等性质与方法的运算能力和初步解决实际问题的能力。

（三）基本素质

通过本课程的学习，使学生提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及科学创新能力。

三、学时分配

四、理论教学目标和内容

第一篇 复变函数

第一章 复数与复变函数

目标

1.掌握 （1）复数的四则运算及共轭运算；（2）模与辐角的概念；（3）复数的各种表示法；（4）乘积与商的模与辐角定理；（5）方根运算公式。

2.熟悉 （1）复数的概念；（2）区域、简单曲线、单连通区域与多连通区域的概念；（3）复变函数以及映射的概念；（4）复变函数与二元实函数的关系；（5）几种初等函数的概念和性质。

3.了解 （1）复球面的概念；（2）无穷远点及扩充复平面的概念。

内容

1.重点阐述 （1）复数的各种表示法；（2）复数乘积与商的模与辐角定理；（3）方根运算公式。

2.详细了解 （1）复数的概念；（2）复平面、模与辐角的概念；（3）区域、简单曲线、单连通区域与多连通区域的概念；（4）复变函数以及映射的概念；（5）几种复变初等函数的概念和性质。

3.一般介绍 （1）复球面、无穷远点及扩充复平面的概念；（2）复变函数与二元实函数的关系。

第二章 导数

目标

1.掌握 （1）连续、可导、解析之间的关系及求导方法；（2）函数可导与解析的判别法；（3）掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；（4）共轭调和函数的求法。

2.熟悉 （1）复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系；（2）导数以及解析函数的概念；（3）复变函数的极限与连续的概念、性质。

内容

1.重点阐述 （1）复变函数的连续、可导、解析之间的关系及求导方法；（2）函数可导与解析的判别法；（3）柯西-黎曼方程；（4）解析函数与调和函数的关系；（5）共轭调和函数的求法。

2.详细了解 （1）复变函数的极限；（2）复变函数的导数以及解析函数的概念。

第三章 积分

目标

1.掌握 （1）复积分计算的一般方法；（2）柯西定理、柯西积分公式及高阶导数公式，并会灵活运用这两种方法求积分。

2.了解 （1）复不定积分与原函数的概念；（2）复定积分定义。

内容

1.重点阐述 （1）复积分计算的一般方法；（2）柯西积分公式及高阶导数公式。

2.详细了解 柯西定理。

3.一般介绍 （1）复积分定义；（2）复不定积分与原函数的概念。

第四章 级数

目标

1.掌握 （1）的泰勒展开式、函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数；（2）罗朗级数的概念、性质，能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数；（3）收敛半径的求法。

2.熟悉 （1）泰勒展开定理；（2）罗朗展开定理；（3）复数列收敛的充分必要条件；（4）阿贝尔定理。

3.了解 （1）复数列的极限概念；（2）级数理论、级数的性质。

内容

1.重点阐述 （1）收敛半径的求法；（2）的泰勒展开式；（3）函数展开成泰勒级数的方法；（4）罗朗级数的概念、性质。

2.详细了解 （1）复数列收敛的充分必要条件；（2）阿贝尔定理、泰勒展开定理、罗朗展开定理；（3）一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。

3.一般介绍 （1）复数列的极限概念；（2）级数理论；（3）级数的性质。

第五章 留数

目标

1.掌握 （1）可去奇点、极点与本性奇点的特征；（2）计算留数的一般方法；（3）极点处留数的求法；（4）利用留数定理计算闭路积分的方法。

2.熟悉 （1）孤立奇点的概念及其分类；（2）应用留数计算、及型积分 ；（3）零点与极点的关系；（4）留数的概念。

内容

1.重点阐述 （1）可去奇点、极点与本性奇点的特征；（2）计算留数的一般方法、极点处留数的求法；（3）利用留数定理计算闭路积分的方法；（4）应用留数计算、及型积分。

2.详细了解 （1）孤立奇点的概念及其分类；（2）零点与极点的关系；（3）留数的概念。

第六章 保形变换

目标

1.掌握 线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。

2.熟悉 （1）熟悉解析函数导数的几何意义及保形映射的概念；（2）求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。

3.了解 函数为正有理数）和有关映射的性质。

内容

1.重点阐述 线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。

2.详细了解 （1）解析函数导数的几何意义及共形映射的概念；（2）求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。

3.一般介绍 函数为正有理数）和有关映射的性质。

第二篇 积分变换

第一章 傅立叶变换

目标

1.掌握 （1）傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质；（2）傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；（3）掌握并能运用卷积定理。

2.熟悉 （1）傅氏积分定理；（2）傅氏变换及其逆变换的概念；（3）的概念和性质；（4）卷积的概念。

3.了解 周期函数的傅里叶级数及其复数形式。

内容

1.重点阐述 （1）傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质；（2）卷积定理。

2.详细了解 （1）傅氏积分定理；（2）傅氏变换及其逆变换的概念；（3）的概念和性质；（4）运用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；（5）卷积的概念。

3.一般介绍 周期函数的傅里叶级数及其复数形式。

五、措施与评价

（一）措施

本课程在教务处统一组织下实施教学。

1.理论课 一般采用小班进行教学，课前教师要认真备课，明确教学目的、进度、深广度及重难点，写好教案或制好多媒体教学课件。讲课必须注重启发式、讨论式教学模式，突出重点，攻破难点。充分利用各种电化教学手段，紧密结合工科实际，调动学生的学习积极性，注重对学生能力的培养，不断提高教学质量。

2.自学与辅导 学生应认真进行课前预习和课后复习，完成指定作业，阅读指定参考书。教师认真批改作业，了解学生的学习情况，并及时发放作业，注重培养学生的自学能力。辅导答疑时，教师要耐心细致，注意质疑症结、启发诱导，锻炼学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。

（二）评价

1.在课程结束后进行全面系统复习和考核。理论考试成绩占70％，平时成绩占30％。

2.评价采用提问、作业、综述及论文写作、测试、考试等方式进行。

 编写 王华阁

审校 石巧连